Aljabar Abstrak

OPERASI

Definisi 1

Sebuah operasi pada satu set S adalah hubungan (aturan, korespondensi) yang memberikan untuk setiap pasangan memerintahkan unsur S elemen unik ditentukan dari S. Jadi, operasi adalah jenis khusus dari pemetaan. Diasumsikan :

1.      S x S, produk cartesian S dengan S, adalah himpunan semua pasangan memerintahkan (a,b) dengan   dan  . operasi pada S hanyalah sebuah pemetaan dari S x S ke S.

2.      Dalam hal penambahan sebagai operasi pada bilangan bulat, (a,b) => a+b.

3.      Untuk memiliki operasi pada S ditetapkan, adalah penting bahwa jika a,b berada di S. Properti ini suatu operasi yang disebut sebagai penutupan, atau kita mengatakan bahwa S ditutup sehubungan dengan operasi.

Contoh :

a.       Perkalian bilangan bulat positif merupakan sebuah operasi karena menghasilkan bilangan bulat positif juga.

b.      Pembagian bilangan positif bukan merupakan sebuah operasi, karena tidak semuanya menghasilkan bilangan bulat positif.

Contoh penyangkalnya adalah :

Misal => 2:5 = 2/5 (bukan merupakan himpunan bulat positif).

Adapun beberapa simbol lainnya,  jika a ϵ S dan bϵ S maka hasil dari (a,b) adalah berada di S. Maka dikatakan S tertutup pada sebuah operasi. Adapun untuk Sebuah operasi akan dinotasikan dengan *.

Diasumsikan :

1.      Jika * didefinisikan oleh m * n = mⁿ  untuk semua bilangan bulat positif m dan n, hasilnya adalah operasi pada himpunan bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa 3 * 2 = 3² = 9, sedangkan 2 * 3 = 2³ = 8. Jadi 3 * 2 # 2 * 3.

2.      S melambangkan setiap himpunan tidak kosong, dan membiarkan M (S) menunjukkan himpunan semua pemetaan dari S ke S. Misalkan  M (S) dan  M (S). Kemudian  : S =>  S, : S => S, dan  o  : S => S, sehingga o  M  (S). Jadi o adalah operasi pada M (S).

3.      Jika S adalah himpunan berhingga, maka kita dapat menentukan operasi pada S dengan cara tabel, mirip dengan penambahan dan tabel perkalian yang digunakan di awal aritmatika.

Definisi 2

Sebuah * operasi pada satu set S dikatakan asosiatif jika memenuhi kondisi

             a*(b*c) = (a*b)*c hukum asosiatif untuk semua a,b,c  S.

Misalnya:

a.       Penjumlahan bersifat asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c untuk semua a,b,c  R.

b.      Pengurangan tidak bersifat asosiatif. Contoh penyangkalnya :

2 - (3 - 4) = 3, tetapi (2 – 3) – 4 = -5

c.        Perkalian bersifat asosiatif : a (bc) = (ab) c. Tetapi operasi didefinisikan dalam contoh yang lain tidak asosiatif. Contoh penyangkal :

2 * (3 * 2) = 2 * (3²) = 2 * 9 = 2⁹ = 512, tapi (2 * 3) * 2 = (2³)* 2 = 8 * 2 = 8² = 64.

Definisi 3

E elemen dalam S set adalahsebuah identitas (atau elemen identitas) untuk operasi * pada S jika e * a = a * e = a untuk setiap a ϵ S.

Jadi 0 adalah identitas untuk penambahan bilangan bulat, dan 1 adalah identitas untuk perkalian bilangan bulat.

Definisi 4

Asumsikan e * yang merupakan operasi pada S, dengan e identitas,  dan  bahwa a ϵ S. Elemen b di S merupakan kebalikan dari suatu relatif terhadap * jika

a * b = b * a = e

Contoh :

1.      Penjumlahan merupakan operasi pada himpunan bilangan bulat, bilangan bulat masing-masing memiliki invers, yang negatif : a + (-a) = (-a) + a = 0 untuk setiap integer a.

2.      Perkalian merupakan operasi pada himpunan bilangan real, masing-masing bilangan real berbeda dari 0 memiliki invers, yang timbal balik : a . (1/a) = (1/a) . a = 1. Perkalian juga merupakan operasi pada himpunan bilangan bulat (dengan identitas 1), tetapi dalam kasus ini hanya 1 dan -1 memiliki invers.

Definisi 5

            Sebuah * dikatakan komutatif jika a * b = b * a hukum komutatif untuk semua a,bϵ S.

Contoh :

1.      Penjumlahan dan perkalian bilangan bulat bersifat komutatif.

2.      Penjumlahan pada himpunan semua matriks 2 x 2 nyata (yaitu matrik dengan nomor nyata sebagai entri). Matriks dengan setiap entri 0 (nol) adalah elemen identitas, dan lawan dari   adalah

Dengan kata lain Penjumlahan matriks bersifat asosiatif dan komutatif.