Wednesday, March 6, 2013

Permainan Matematika


MENEBAK BATIN ORANG
Permainan ini dimulai dari mempersiapkan sebuah atau lebih hitungan aljabar yang akan digunakan untuk permainan . Misalnya n adalah sebuah bilangan yang disebutkan dalam batin seseorang.
Pertama-tama disusun hitungan aljabar oleh yang mengajak bermain, umpama:
{2(n + 1) + 4} : 2 = n + 3
Kemudian lawan bermain kita diminta untuk melakukan perintah-perintah berikut :
1. Sebutkan dalam batinmu sebuah bilangan.
2. Tambahkan bilangan tersebut dengan 1
3. Kalikan 2
4. Kemudian tambah lagi dengan 4
5. Bagilah hasilnya dengan 2
6. Sebutkan hasil terakhir ini
Misal lawan bermain kita memikirkan bilangan 5; dalam merespon perintah kita yang mengajak bermain :
1). menyebut (dalam batin) 5
2). 5 + 1 = 6
3). 6 x 2 = 12
4). 12 + 4 = 16
5). 16 : 2 = 8.
6). lawan bermain kita menyebut 8
Karena hasil hitungan yang untuk bermain adalah n + 3 ; dan 5 + 3 = 8; (atau n = 8 – 3 = 5); maka kita sebagai yang mengajak bermain menebak : Bilangan yang kau pikirkan adalah 5.
Kita boleh membuat hitungan lain yang, misalnya
(2(n + 3) – 6) + 1 = 2n + 1.
Pemainan dimulai :
1. Sebutkan dalam batinmu sebuah bilangan
2. Tambah dengan 3
3. Hasilnya kalikan 2
4. Kurangi dengan 6
5. Selanjutnya tambah lagi dengan 1
6. Sebutkan (ucapkan ) hasil terakhir.
Diumpamakan lawan bermain kita menyebut dalam batin bilangan 6.
6 + 3 = 9
9 x 2 = 18
18 – 6 = 12
12 + 1 = 13
Lawan bermain kita menyebutkan bilangan 13.
Kita tahu bahwa 13 = 2 x 6 + 1. Maka tebakannya adalah 6.
Atau karena kunci tebakan adalah 2n + 1, maka tebakannya
n = (13 – 1) : 2 yang sama dengan 6.
Permainan ini bisa dikembangkan lagi menjadi yang lebih keren, yaitu misalnya “menebak bulan kelahiran dan umur lawan bermain” kita.
Pertama-tama yang kita pikirkan membuat hitungan aljabar, sehingga hasilnya berupa : satu atau dua angka pertama menunjukkan bulan kelahiran dan dua angka berikutnya adalah umur , dengan perjanjian bahwa umur lawan bermain kita tidak lebih kecil dari 10 tahun.
Sebutlah bulan kelahiran adalah X dan umur adalah Y; hitungan aljabar yang kita buat harus menghasilkan 100X + Y .
Marilah kita mualai membuat hitungan aljabar, misalnya
(2X + 5) * 50 + Y supaya menghasilkan 100X + Y hitungan tersebut harus dikurangi 250. Hitungan berubah menjadi :
(2X + 5) * 50 + Y – 250 ini sudah menghasilkan 100X + Y; nah yang – 250 ini kita buat seolah-olah sesuatu yang misterius. Misalnya dikaitkan dengan bulan, dimana satu bulan sama dengan 30 hari; dikaitkan lagi dengan tahun, 1 tahun = 365 hari, dikaitkan lagi 1 tahun = 12 bulan.
Kemudian hitungan tersebut diubah lagi, misalnya menjadi :
(2X + 5) * 50 + Y + 30 – 12 + 97 – 365 = 100X + Y.
Kita mulai bersiap-siap untuk permainan kita. Dimulai perjanjian bahwa yang dimaksud bulan adalah bulan dalam bilangan, misalnya bulan Februari itu adalah bulan 2 dan seterusnya.
1. Ingat-ingat bulan kamu dilahirkan dan sekarang umurmu berapa.
2. Kalikan bulan kamu dilahirkan dengan 2
3. Selanjutnya tambah dengan 5
4. Kalikan dengan 50
5. Tambahkan dengan umurnu
6. Tambah lagi dengan 30 (Komentar : 1 bulan = 30 hari)
7. Kurangi dengan 12 (komentar: 1 tahun = 2 bulan)
8. Selanjutnya tambah dengan 97
9. Terakhir kurang dengan 365 (komentar : 1 tahun =365 hari)
10. Sebutkan hasil terakhir yang kamu peroleh.
Catatan untuk yang mengajak bermain :
Yang perlu diketahui oleh penebak adalah bahwa
 dua angka terakhir menunjukkan umur. 
Jadi apabila hasil terakhir 1225, artinya dia lahir bulan 12 (Desember) dan umur yang diajak bermain 25 tahun.
Apabila hasil terakhir 127 ; lahir bulan 1, umur 27 tahun
Apabila hasil terakhir 101 ; hitungan pasti salah.
Apabila hasil terakhir 110 ; lahir bulan 1, umur 10 tahun.
Apabila hasil terakhir 122 ; lahir bulan 1, umur 22 tahun.
Apabila hasil terakhir 1222 ; lahir bulan 12, umur 22 tahun.
Kita bermain dengan seseorang yang berumur 22 tahun, yang lahir di bulan Desember.
1). Yang perlu diingat lahir bulan 12; umum 22
2). bulan kali 2 yaitu 12 x 2 = 24
3). 24 + 5 = 29
4). 29 x 50 = 1450
5). 1450 + umur = 1450 + 22 = 1472
6). 1472 + 30 = 1502
7). 1502 – 12 = 1490
8). 1490 + 97 = 1587
9). 1587 – 365 = 1222
Jadi umurmu 22 tahun dan kamu lahir dalam bulan Desember.
Hitungan diatas yaitu (2X + 5) * 50 + Y +30 – 12 + 97 -365
bisa juga diartikan X adalah tanggal; dan Y adalah bulan. Sehingga hitungan tersebut bisa digunakan untuk menentukan “Ulang Tahun” seseorang, dengan perintah :
1. Ulang Tahun dinyatakan dalam tanggal dan bulan; bulan disini dinyatakan dalam bilangan, misal bulan Februari adalah bulan 2.
2. Kalikan tanggal dalam ulang tahunmu dengan 2
3. Selanjutnya tambah dengan 5.
4. Kalikan dengan 50
5. Tambah dengan bulan dalam ulang tahunmu.
6. Tambahkan 30
7. Kurangi 12
8. Tambah lagi dengan 97
9. Terakhir kurangi dengan 365
10.Sebutkan hasil hitungan mu.
Catatan : perlu diketahui bahwa dua angka terakhir menunjukkan bulan. Jadi, misalnya dalam hitungan menghasilkan 111 berarti 1 November; 205 berarti 2 Mei; 2005 berarti 20 Mei.


Tuesday, February 12, 2013

Aljabar Abstrak


OPERASI

Definisi 1
Sebuah operasi pada satu set S adalah hubungan (aturan, korespondensi) yang memberikan untuk setiap pasangan memerintahkan unsur S elemen unik ditentukan dari S. Jadi, operasi adalah jenis khusus dari pemetaan. Diasumsikan :
1.      S x S, produk cartesian S dengan S, adalah himpunan semua pasangan memerintahkan (a,b) dengan   dan  . operasi pada S hanyalah sebuah pemetaan dari S x S ke S.
2.      Dalam hal penambahan sebagai operasi pada bilangan bulat, (a,b) => a+b.
3.      Untuk memiliki operasi pada S ditetapkan, adalah penting bahwa jika a,b berada di S. Properti ini suatu operasi yang disebut sebagai penutupan, atau kita mengatakan bahwa S ditutup sehubungan dengan operasi.
Contoh :
a.       Perkalian bilangan bulat positif merupakan sebuah operasi karena menghasilkan bilangan bulat positif juga.
b.      Pembagian bilangan positif bukan merupakan sebuah operasi, karena tidak semuanya menghasilkan bilangan bulat positif.
Contoh penyangkalnya adalah :
Misal => 2:5 = 2/5 (bukan merupakan himpunan bulat positif).

Adapun beberapa simbol lainnya,  jika a ϵ S dan bϵ S maka hasil dari (a,b) adalah berada di S. Maka dikatakan S tertutup pada sebuah operasi. Adapun untuk Sebuah operasi akan dinotasikan dengan *.
Diasumsikan :
1.      Jika * didefinisikan oleh m * n = mn  untuk semua bilangan bulat positif m dan n, hasilnya adalah operasi pada himpunan bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa 3 * 2 = 32 = 9, sedangkan 2 * 3 = 23 = 8. Jadi 3 * 2 # 2 * 3.
2.      S melambangkan setiap himpunan tidak kosong, dan membiarkan M (S) menunjukkan himpunan semua pemetaan dari S ke S. Misalkan  M (S) dan  M (S). Kemudian  : S =>  S, : S => S, dan  o  : S => S, sehingga o  M  (S). Jadi o adalah operasi pada M (S).
3.      Jika S adalah himpunan berhingga, maka kita dapat menentukan operasi pada S dengan cara tabel, mirip dengan penambahan dan tabel perkalian yang digunakan di awal aritmatika.

Definisi 2
Sebuah * operasi pada satu set S dikatakan asosiatif jika memenuhi kondisi
             a*(b*c) = (a*b)*c hukum asosiatif untuk semua a,b,c  S.
Misalnya:
a.       Penjumlahan bersifat asosiatif : a + (b + c) = (a + b) + c untuk semua a,b,c  R.
b.      Pengurangan tidak bersifat asosiatif. Contoh penyangkalnya :
2 - (3 - 4) = 3, tetapi (2 – 3) – 4 = -5
c.        Perkalian bersifat asosiatif : a (bc) = (ab) c. Tetapi operasi didefinisikan dalam contoh yang lain tidak asosiatif. Contoh penyangkal :
2 * (3 * 2) = 2 * (32) = 2 * 9 = 29 = 512, tapi (2 * 3) * 2 = (23)* 2 = 8 * 2 = 82 = 64.

Definisi 3
E elemen dalam S set adalahsebuah identitas (atau elemen identitas) untuk operasi * pada S jika e * a = a * e = a untuk setiap a ϵ S.
Jadi 0 adalah identitas untuk penambahan bilangan bulat, dan 1 adalah identitas untuk perkalian bilangan bulat.



Definisi 4
Asumsikan e * yang merupakan operasi pada S, dengan e identitas,  dan  bahwa a ϵ S. Elemen b di S merupakan kebalikan dari suatu relatif terhadap * jika
a * b = b * a = e
Contoh :
1.      Penjumlahan merupakan operasi pada himpunan bilangan bulat, bilangan bulat masing-masing memiliki invers, yang negatif : a + (-a) = (-a) + a = 0 untuk setiap integer a.
2.      Perkalian merupakan operasi pada himpunan bilangan real, masing-masing bilangan real berbeda dari 0 memiliki invers, yang timbal balik : a . (1/a) = (1/a) . a = 1. Perkalian juga merupakan operasi pada himpunan bilangan bulat (dengan identitas 1), tetapi dalam kasus ini hanya 1 dan -1 memiliki invers.

Definisi 5
            Sebuah * dikatakan komutatif jika a * b = b * a hukum komutatif untuk semua a,bϵ S.
Contoh :
1.      Penjumlahan dan perkalian bilangan bulat bersifat komutatif.
2.      Penjumlahan pada himpunan semua matriks 2 x 2 nyata (yaitu matrik dengan nomor nyata sebagai entri). Matriks dengan setiap entri 0 (nol) adalah elemen identitas, dan lawan dari   adalah
Dengan kata lain Penjumlahan matriks bersifat asosiatif dan komutatif.